1.1 Définition de la stabilité: "1.1 Définition de la stabilité
Considérons un système continu de dimension finie décrit par une équation différentielle vectorielle non-linéaire du premier ordre :
\begin{displaymath} \dot{x}=f(x)\quad x\;\in\;{\mathcal{R}}^n \end{displaymath} (1.1)
Définition 1.1 (Point d'équilibre) Un vecteur $x_e\;\in\;{\mathcal{R}}^n$ est dit point ou état d'équilibre si :
\begin{displaymath} f(x_e)=0\;. \end{displaymath}
Remarque: tout point d'équilibre peut être ramené à l'origine par un simple changement de variable $x\leftarrow x-x_e$. Donc, sans perte de généralité, les définitions et théorèmes qui suivent seront établis en considérant:
\begin{displaymath} x_e=0\;. \end{displaymath}
Définition 1.2 (Stabilité locale simple et asymptotique) L'état d'équilibre $x_e=0$ du système 1.1 est :
-
stable si, pour tout $\epsilon >0$, il existe $r=r(\epsilon)$, tel que :
\begin{displaymath} \Vert x(t=0)\Vert<r \Rightarrow \Vert x(t)\Vert<\epsilon \quad \forall\;t>0 \end{displaymath}
-
instable, si non stable,
-
asymptotiquement stable, s'il est stable et si $r$ peut être choisi tel que :
\begin{displaymath} \Vert x(t=0)\Vert<r \Rightarrow \lim_{t \to \infty}x(t)=0 \end{displaymath}
-
marginalement stable, s'il est stable sans être asymptotiquement stable.
Physiquement, la stabilité au sens de LYAPUNOV garantit que la trajectoire $x(t)$ dans l'espace d'état restera à l'intérieur de la boucle $\mathcal{B}(x_e,\epsilon)$ si son point de départ appartient à une boule $\mathcal{B}(x_e,r)$. La stabilité asymptotique inclut cette propriété, mais spécifie de plus que toute trajectoire initialisée dans la boule $\mathcal{B}(x_e,r)$ converge vers $x_e$.
Dans ce qui suit et par abus de langage, on parle de stabilité du système au lieu de parler de stabilité du point d'équilibre.
Définition 1.3 (Stabilité asymptotique globale) Si le système est asymptotiquement stable quel que soit le vecteur d'état initial $x(t=0)$ alors le point d'équilibre est globalement asymptotiquement (ou exponentiellement) stable."
vendredi 4 septembre 2009
1.3 Stabilité au sens de LYAPUNOV: méthode directe
1.3 Stabilité au sens de LYAPUNOV: méthode directe: "1.3 Stabilité au sens de LYAPUNOV: méthode directe
La stabilité au sens de LYAPUNOV est une traduction mathématique d'une constatation élémentaire : si l'énergie totale d'un système se dissipe continuement (c'est-à-dire décroît avec le temps) alors ce système (qu'il soit linéaire ou non, stationnaire ou non) tend à se ramener à un état d'équilibre (il est stable). La méthode directe cherche donc à générer une fonction scalaire de type énergétique qui admet une dérivée temporelle négative.
Théorème 1.1 (Stabilité locale) L'état d'équilibre $x_e=0$ est stable si il existe une fonction continuement dérivable $U(x)$ telle que :
(1)
$U(0)=0$,
(2)
$U(x)>0 \quad \forall x\neq0,\;x\in\Omega$,
(3)
$\dot{U}(x)\le0 \quad \forall x\neq0,\;x\in\Omega$,
où $\dot{U}$ est la dérivée de $U$ par rapport au temps et $\Omega$ est une région autour de 0. Si de plus (3) est remplacée par $\dot{U}(x)<0$ alors l'état d'équilibre est asymptotiquement stable.
Le fonction $U(x)$ est appelée fonction de LYAPUNOV.
Ce théorème est une condition suffisante de stabilité mais ne permet pas de guider l'utilisateur dans le choix de la fonction de LYAPUNOV et ne permet pas de conclure si on ne trouve pas une telle fonction. Une fonction de LYAPUNOV candidate est une fonction définie positive dont on teste la décroissance autour du point d'équilibre. L'étude des méthodes qui permettent de construire une fonction de LYAPUNOV candidate pour un système donné a motivé une littérature très abondante ces dernières décennies dont la revue dépasse le cadre de ce document. Les formes quadratiques sont les plus utilisées notamment les fonctions définies positives qui sont des intégrales premières (c'est-à-dire dont la dérivée temporelle est nulle) du système idéalisé (par exemple l'énergie totale d'un système mécanique idéalement conservatif, voir exemple suivant).
Théorème 1.2 (Stabilité globale) L'état d'équilibre $x_e$ est globalement asymptotiquement stable si il existe une fonction continuement dérivable $U(x)$ telle que :
(1)
$U(0)=0$,
(2)
$U(x)>0 \quad \forall x\neq0$,
(3)
$\dot{U}(x)<0 \quad \forall x\neq0$,
(4)
$\dot{U}\to -\infty\quad \mbox{quand}\quad \Vert x\Vert\to\infty$.
Exemple 1.2 Considérons le système décrit par une équation différentielle ordinaire non-linéaire :
\begin{displaymath} \ddot{x}(t)-\epsilon x^2(t)\dot{x}+x(t)=0 \end{displaymath}
Sous forme d'état, avec les définitions $x_1=x,\;x_2=\dot{x}$, nous obtenons :
\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{rcl} \dot{x_1} & = & x_2 \\ \dot{x_2} & = & -x_1+\epsilon x_1^2x_2 \end{array}\right. \end{displaymath}
Il est facile de vérifier que ``cet oscillateur avec une fonction d'amortissement non-linéaire'' a un état d'équilibre à l'origine $(x_1, x_2)=(0, 0)$. Pour l'analyse de la stabilité nous choisirons la fonction de LYAPUNOV candidate suivante :
\begin{displaymath} U(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+x_2^2}{2} \end{displaymath}
Ce choix est fondé sur une considération physique : c'est une intégrale première (énergie mécanique totale) du système idéalement conservatif obtenu pour $\epsilon=0$. Le calcul de $\dot{U}$ donne :
$\displaystyle \dot{U}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle x_1x_2+x_2(-x_1+\epsilon x_1^2x_2)$
$\textstyle =$ $\displaystyle \epsilon x_1^2x_2^2$
Donc $U$ est une fonction définie positive qui est strictement décroissante le long de toutes les trajectoires du système si $\epsilon<0$. D'après les théorèmes précédents, l'état d'équilibre $(0, 0)$ est globalement stable pour $\epsilon=0$, est globalement asymptotiquement stable si $\epsilon<0$, globalement instable sinon. Dans cet exemple, l'analyse est complète car elle a permis de caractériser la stabilité globale du système. Ce n'est pas toujours le cas et cela dépend de la fonction de LYAPUNOV candidate comme le montre l'exemple suivant.
Exemple 1.3 Considérons maintenant le système défini par :
\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{rcl} \dot{x_1} & = & 2x_1(x_2^2-1) \\ \dot{x_2} & = & -x_2(x_1^2+1) \end{array}\right. \end{displaymath}
qui présente un point d'équilibre à l'origine et considérons la même fonction de LYAPUNOV candidate que précédemment :
\begin{displaymath} U_1(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+x_2^2}{2} \end{displaymath}
On a alors :
$\displaystyle \dot{U_1}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle x_1^2x_2^2-2x_1^2-x_2^2 \;.$
$\dot{U_1}<0\quad \mbox{si}\quad x_1^2x_2^2-2x_1^2-x_2^2<0$. Dans le plan $(x_1^2, x_2^2)$, on peut tracer le domaine de stabilité suggéré par cette fonction de LYAPUNOV candidate. On obtient alors la figure 1.1.
Figure 1.1: Domaine stabilité suggéré par $U_1(x_1, x_2)$.
\includegraphics[width=10cm]{/alazard/enseignement/ENSAE3/robustesse/domstab}
Si l'on considère maintenant la fonction de LYAPUNOV candidate suivante :
\begin{displaymath} U_2(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+2x_2^2}{2}, \end{displaymath}
nous obtenons :
$\displaystyle \dot{U_2}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle -2x_1^2-2x_2^2$
et nous pouvons conclure que le système est globalement asymptotiquement stable dans tout l'espace d'état $(x_1, x_2)$. On dit que le première fonction de LYAPUNOV $U_1$ est conservative car elle donne un résultat pessimiste sur le domaine de stabilité du système."
La stabilité au sens de LYAPUNOV est une traduction mathématique d'une constatation élémentaire : si l'énergie totale d'un système se dissipe continuement (c'est-à-dire décroît avec le temps) alors ce système (qu'il soit linéaire ou non, stationnaire ou non) tend à se ramener à un état d'équilibre (il est stable). La méthode directe cherche donc à générer une fonction scalaire de type énergétique qui admet une dérivée temporelle négative.
Théorème 1.1 (Stabilité locale) L'état d'équilibre $x_e=0$ est stable si il existe une fonction continuement dérivable $U(x)$ telle que :
(1)
$U(0)=0$,
(2)
$U(x)>0 \quad \forall x\neq0,\;x\in\Omega$,
(3)
$\dot{U}(x)\le0 \quad \forall x\neq0,\;x\in\Omega$,
où $\dot{U}$ est la dérivée de $U$ par rapport au temps et $\Omega$ est une région autour de 0. Si de plus (3) est remplacée par $\dot{U}(x)<0$ alors l'état d'équilibre est asymptotiquement stable.
Le fonction $U(x)$ est appelée fonction de LYAPUNOV.
Ce théorème est une condition suffisante de stabilité mais ne permet pas de guider l'utilisateur dans le choix de la fonction de LYAPUNOV et ne permet pas de conclure si on ne trouve pas une telle fonction. Une fonction de LYAPUNOV candidate est une fonction définie positive dont on teste la décroissance autour du point d'équilibre. L'étude des méthodes qui permettent de construire une fonction de LYAPUNOV candidate pour un système donné a motivé une littérature très abondante ces dernières décennies dont la revue dépasse le cadre de ce document. Les formes quadratiques sont les plus utilisées notamment les fonctions définies positives qui sont des intégrales premières (c'est-à-dire dont la dérivée temporelle est nulle) du système idéalisé (par exemple l'énergie totale d'un système mécanique idéalement conservatif, voir exemple suivant).
Théorème 1.2 (Stabilité globale) L'état d'équilibre $x_e$ est globalement asymptotiquement stable si il existe une fonction continuement dérivable $U(x)$ telle que :
(1)
$U(0)=0$,
(2)
$U(x)>0 \quad \forall x\neq0$,
(3)
$\dot{U}(x)<0 \quad \forall x\neq0$,
(4)
$\dot{U}\to -\infty\quad \mbox{quand}\quad \Vert x\Vert\to\infty$.
Exemple 1.2 Considérons le système décrit par une équation différentielle ordinaire non-linéaire :
\begin{displaymath} \ddot{x}(t)-\epsilon x^2(t)\dot{x}+x(t)=0 \end{displaymath}
Sous forme d'état, avec les définitions $x_1=x,\;x_2=\dot{x}$, nous obtenons :
\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{rcl} \dot{x_1} & = & x_2 \\ \dot{x_2} & = & -x_1+\epsilon x_1^2x_2 \end{array}\right. \end{displaymath}
Il est facile de vérifier que ``cet oscillateur avec une fonction d'amortissement non-linéaire'' a un état d'équilibre à l'origine $(x_1, x_2)=(0, 0)$. Pour l'analyse de la stabilité nous choisirons la fonction de LYAPUNOV candidate suivante :
\begin{displaymath} U(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+x_2^2}{2} \end{displaymath}
Ce choix est fondé sur une considération physique : c'est une intégrale première (énergie mécanique totale) du système idéalement conservatif obtenu pour $\epsilon=0$. Le calcul de $\dot{U}$ donne :
$\displaystyle \dot{U}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle x_1x_2+x_2(-x_1+\epsilon x_1^2x_2)$
$\textstyle =$ $\displaystyle \epsilon x_1^2x_2^2$
Donc $U$ est une fonction définie positive qui est strictement décroissante le long de toutes les trajectoires du système si $\epsilon<0$. D'après les théorèmes précédents, l'état d'équilibre $(0, 0)$ est globalement stable pour $\epsilon=0$, est globalement asymptotiquement stable si $\epsilon<0$, globalement instable sinon. Dans cet exemple, l'analyse est complète car elle a permis de caractériser la stabilité globale du système. Ce n'est pas toujours le cas et cela dépend de la fonction de LYAPUNOV candidate comme le montre l'exemple suivant.
Exemple 1.3 Considérons maintenant le système défini par :
\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{rcl} \dot{x_1} & = & 2x_1(x_2^2-1) \\ \dot{x_2} & = & -x_2(x_1^2+1) \end{array}\right. \end{displaymath}
qui présente un point d'équilibre à l'origine et considérons la même fonction de LYAPUNOV candidate que précédemment :
\begin{displaymath} U_1(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+x_2^2}{2} \end{displaymath}
On a alors :
$\displaystyle \dot{U_1}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle x_1^2x_2^2-2x_1^2-x_2^2 \;.$
$\dot{U_1}<0\quad \mbox{si}\quad x_1^2x_2^2-2x_1^2-x_2^2<0$. Dans le plan $(x_1^2, x_2^2)$, on peut tracer le domaine de stabilité suggéré par cette fonction de LYAPUNOV candidate. On obtient alors la figure 1.1.
Figure 1.1: Domaine stabilité suggéré par $U_1(x_1, x_2)$.
\includegraphics[width=10cm]{/alazard/enseignement/ENSAE3/robustesse/domstab}
Si l'on considère maintenant la fonction de LYAPUNOV candidate suivante :
\begin{displaymath} U_2(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+2x_2^2}{2}, \end{displaymath}
nous obtenons :
$\displaystyle \dot{U_2}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle -2x_1^2-2x_2^2$
et nous pouvons conclure que le système est globalement asymptotiquement stable dans tout l'espace d'état $(x_1, x_2)$. On dit que le première fonction de LYAPUNOV $U_1$ est conservative car elle donne un résultat pessimiste sur le domaine de stabilité du système."
Integrative Biology - Software architecture
Integrative Biology - Software architecture: "Software architecture
An overall architecture for the project's software infrastructure has been designed as the basis of current development work.
A simple overview of the different levels of infrastructure in the project is shown below:"
An overall architecture for the project's software infrastructure has been designed as the basis of current development work.
A simple overview of the different levels of infrastructure in the project is shown below:"
jeudi 3 septembre 2009
RÉCUPÉRATION DES MEMBRES D'UNE LISTE STATIQUE LDAP
RÉCUPÉRATION DES MEMBRES D'UNE LISTE STATIQUE LDAP ldap, membres, membre, Source N°13529 ColdFusion: "#
# <!--- Requete LDAP permettant la récupération de la liste des membres --->
# <!--- SERVEUR.DOMAINE : correspond à la machine hébergeant votre annuaire LDAP --->
# <!--- BRANCHE : correspond à l'arborescence où sont stockées vos listes statiques --->
# <!--- RACINE : Coorespond a la racine de votre annuaire LDAP --->
#
# <CFLDAP NAME='liste' SERVER='SERVEUR.DOMAINE' ACTION='Query'
# START='ou=BRANCHE,o=RACINE' FILTER='(cn=Informatique-Alsace-access)' SCOPE='subtree'
# ATTRIBUTES='uniquemember'>
#
# <!--- Traitement des 'parasites' dans le champ uniquemember --->
# <CFOUTPUT query='liste'>
# <cfset chai1=#replace(uniquemember,',ou=branche,o=racine',' ','all')#>
# <cfset chai1=#replace(chai1,'uid=',' ','all')#>
# <cfset chai1=#replace(chai1,' , ' , ',','all')#>
# </CFOUTPUT>
#
# <!--- Traitement du résultat --->
# <CFLOOP INDEX='ListElement' LIST=#chai1#> <!--- l'instruction CFLOOP permet aussi l'imbrication récurente de résultat de requete --->
# <!--- Exploitation des résultat : ici ajout dans un base de données des personnes ayant un role de gestionnaire de publication --->
# <!--- Avant chaque identifiant présence d'un espace indésirable d'ou un substitution --->
# <cfset utilisateur=#replace(ListElement,' ','','all')#>
# <cfquery name='ajout' datasource='sourcedonnees'>
# insert into matabledegestionnaire values ('gestion','PUBLICATION','#utilisateur#')
# </cfquery>
# </CFLOOP>"
# <!--- Requete LDAP permettant la récupération de la liste des membres --->
# <!--- SERVEUR.DOMAINE : correspond à la machine hébergeant votre annuaire LDAP --->
# <!--- BRANCHE : correspond à l'arborescence où sont stockées vos listes statiques --->
# <!--- RACINE : Coorespond a la racine de votre annuaire LDAP --->
#
# <CFLDAP NAME='liste' SERVER='SERVEUR.DOMAINE' ACTION='Query'
# START='ou=BRANCHE,o=RACINE' FILTER='(cn=Informatique-Alsace-access)' SCOPE='subtree'
# ATTRIBUTES='uniquemember'>
#
# <!--- Traitement des 'parasites' dans le champ uniquemember --->
# <CFOUTPUT query='liste'>
# <cfset chai1=#replace(uniquemember,',ou=branche,o=racine',' ','all')#>
# <cfset chai1=#replace(chai1,'uid=',' ','all')#>
# <cfset chai1=#replace(chai1,' , ' , ',','all')#>
# </CFOUTPUT>
#
# <!--- Traitement du résultat --->
# <CFLOOP INDEX='ListElement' LIST=#chai1#> <!--- l'instruction CFLOOP permet aussi l'imbrication récurente de résultat de requete --->
# <!--- Exploitation des résultat : ici ajout dans un base de données des personnes ayant un role de gestionnaire de publication --->
# <!--- Avant chaque identifiant présence d'un espace indésirable d'ou un substitution --->
# <cfset utilisateur=#replace(ListElement,' ','','all')#>
# <cfquery name='ajout' datasource='sourcedonnees'>
# insert into matabledegestionnaire values ('gestion','PUBLICATION','#utilisateur#')
# </cfquery>
# </CFLOOP>"
Thunderbird +LDAP +Réplication Hors-Ligne: problème
Thunderbird +LDAP +Réplication Hors-Ligne:
"L'annuaire LDAP fonctionne parfaitement. Le seul problème concerne la réplication hors-ligne. La démarche de téléchargement se passe sans problème (j'ai fixé une limite de contacts à 500), mais au bout du compte, toujours aucun contact téléchargé en local.
???????
En fait, j'ai remarqué que la synchro locale produisait bien un fichier LDAP.mab dans le répertoire profil de TB. ! Donc, la synchro locale LDAP fonctionne, mais le problème concerne le fonctionnement de l'annuaire LDAP en lui-même : dans tous les cas (connecté ou non) il faut chercher les contacts pour les faire apparaître dans le carnet d'adresse, on n'a pas de liste en continu...
On peut faire une recherche (en haut à droite) en mettant un espace, et si le LDAP file n'est pas trop gros, ca fonctionne...
Pour l'instant, on ne peut pas faire mieux, mais c'est sûr que pour faire un mail groupé, c'est moyennement pratique vu que le carnet d'adresse TB ne gère pas la recherche sur le champ "catégories", hélas...
"L'annuaire LDAP fonctionne parfaitement. Le seul problème concerne la réplication hors-ligne. La démarche de téléchargement se passe sans problème (j'ai fixé une limite de contacts à 500), mais au bout du compte, toujours aucun contact téléchargé en local.
???????
En fait, j'ai remarqué que la synchro locale produisait bien un fichier LDAP.mab dans le répertoire profil de TB. ! Donc, la synchro locale LDAP fonctionne, mais le problème concerne le fonctionnement de l'annuaire LDAP en lui-même : dans tous les cas (connecté ou non) il faut chercher les contacts pour les faire apparaître dans le carnet d'adresse, on n'a pas de liste en continu...
On peut faire une recherche (en haut à droite) en mettant un espace, et si le LDAP file n'est pas trop gros, ca fonctionne...
Pour l'instant, on ne peut pas faire mieux, mais c'est sûr que pour faire un mail groupé, c'est moyennement pratique vu que le carnet d'adresse TB ne gère pas la recherche sur le champ "catégories", hélas...
Thunderbird 3 mac apple télécharger nouveautés
Thunderbird 3 démarre une nouvelle vie: "Premier point, son nom code 'Shredder' alias la déchiqueteuse est là pour souligner qu'il s'agit d'une version très préliminaire. En outre, la copier telle quelle dans le dossier Applications écrasera un Thunderbird déjà présent et certaines extensions pourraient ne plus fonctionner. Pensez donc à changer son nom et à dupliquer votre dossier Thunderbird (situé dans le dossier Bibliothèque), c'est lui qui contient vos données. À savoir aussi, sur Mac OS X, un bug tire progressivement la consommation processeur du logiciel vers le haut.
A ce stade du développement de Thunderbird 3 on ne trouvera pas de grandes nouvelles fonctions par rapport à l'actuelle 2.x (notes de versions). Mais tout de même, sous le capot c'est déjà le moteur de Firefox 3 qui turbine et l'application est écrite avec Cocoa au lieu de Carbon.
On compte aussi un gestionnaire d'extensions amélioré pour les télécharger et les installer plus facilement. Le répertoire intégré s'appuie (enfin) sur Carnet d'adresses de Mac OS X, mais c'est pour le moment une fonction à activer manuellement. Enfin, les recherches dans le corps des messages devraient être plus efficaces.
À terme les gros changements prévus viseront à l'intégration de Lightning, l'extension de calendrier, à améliorer les outils de recherche, la lecture des fils RSS, l'interface en général, etc.
En février dernier, le développement de Thunderbird a été confié à Mozilla Messaging, une nouvelle entité dépendant de la Fondation Mozilla qui pour sa part concentre ses efforts sur Firefox."
A ce stade du développement de Thunderbird 3 on ne trouvera pas de grandes nouvelles fonctions par rapport à l'actuelle 2.x (notes de versions). Mais tout de même, sous le capot c'est déjà le moteur de Firefox 3 qui turbine et l'application est écrite avec Cocoa au lieu de Carbon.
On compte aussi un gestionnaire d'extensions amélioré pour les télécharger et les installer plus facilement. Le répertoire intégré s'appuie (enfin) sur Carnet d'adresses de Mac OS X, mais c'est pour le moment une fonction à activer manuellement. Enfin, les recherches dans le corps des messages devraient être plus efficaces.
À terme les gros changements prévus viseront à l'intégration de Lightning, l'extension de calendrier, à améliorer les outils de recherche, la lecture des fils RSS, l'interface en général, etc.
En février dernier, le développement de Thunderbird a été confié à Mozilla Messaging, une nouvelle entité dépendant de la Fondation Mozilla qui pour sa part concentre ses efforts sur Firefox."
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