1.3 Stabilité au sens de LYAPUNOV: méthode directe

1.3 Stabilité au sens de LYAPUNOV: méthode directe: "1.3 Stabilité au sens de LYAPUNOV: méthode directe
La stabilité au sens de LYAPUNOV est une traduction mathématique d'une constatation élémentaire : si l'énergie totale d'un système se dissipe continuement (c'est-à-dire décroît avec le temps) alors ce système (qu'il soit linéaire ou non, stationnaire ou non) tend à se ramener à un état d'équilibre (il est stable). La méthode directe cherche donc à générer une fonction scalaire de type énergétique qui admet une dérivée temporelle négative.

Théorème 1.1 (Stabilité locale) L'état d'équilibre $x_e=0$ est stable si il existe une fonction continuement dérivable $U(x)$ telle que :

(1)
$U(0)=0$,
(2)
$U(x)>0 \quad \forall x\neq0,\;x\in\Omega$,
(3)
$\dot{U}(x)\le0 \quad \forall x\neq0,\;x\in\Omega$,

où $\dot{U}$ est la dérivée de $U$ par rapport au temps et $\Omega$ est une région autour de 0. Si de plus (3) est remplacée par $\dot{U}(x)<0$ alors l'état d'équilibre est asymptotiquement stable.

Le fonction $U(x)$ est appelée fonction de LYAPUNOV.

Ce théorème est une condition suffisante de stabilité mais ne permet pas de guider l'utilisateur dans le choix de la fonction de LYAPUNOV et ne permet pas de conclure si on ne trouve pas une telle fonction. Une fonction de LYAPUNOV candidate est une fonction définie positive dont on teste la décroissance autour du point d'équilibre. L'étude des méthodes qui permettent de construire une fonction de LYAPUNOV candidate pour un système donné a motivé une littérature très abondante ces dernières décennies dont la revue dépasse le cadre de ce document. Les formes quadratiques sont les plus utilisées notamment les fonctions définies positives qui sont des intégrales premières (c'est-à-dire dont la dérivée temporelle est nulle) du système idéalisé (par exemple l'énergie totale d'un système mécanique idéalement conservatif, voir exemple suivant).

Théorème 1.2 (Stabilité globale) L'état d'équilibre $x_e$ est globalement asymptotiquement stable si il existe une fonction continuement dérivable $U(x)$ telle que :

(1)
$U(0)=0$,
(2)
$U(x)>0 \quad \forall x\neq0$,
(3)
$\dot{U}(x)<0 \quad \forall x\neq0$,
(4)
$\dot{U}\to -\infty\quad \mbox{quand}\quad \Vert x\Vert\to\infty$.

Exemple 1.2 Considérons le système décrit par une équation différentielle ordinaire non-linéaire :

\begin{displaymath} \ddot{x}(t)-\epsilon x^2(t)\dot{x}+x(t)=0 \end{displaymath}

Sous forme d'état, avec les définitions $x_1=x,\;x_2=\dot{x}$, nous obtenons :

\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{rcl} \dot{x_1} & = & x_2 \\ \dot{x_2} & = & -x_1+\epsilon x_1^2x_2 \end{array}\right. \end{displaymath}

Il est facile de vérifier que ``cet oscillateur avec une fonction d'amortissement non-linéaire'' a un état d'équilibre à l'origine $(x_1, x_2)=(0, 0)$. Pour l'analyse de la stabilité nous choisirons la fonction de LYAPUNOV candidate suivante :

\begin{displaymath} U(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+x_2^2}{2} \end{displaymath}

Ce choix est fondé sur une considération physique : c'est une intégrale première (énergie mécanique totale) du système idéalement conservatif obtenu pour $\epsilon=0$. Le calcul de $\dot{U}$ donne :
$\displaystyle \dot{U}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle x_1x_2+x_2(-x_1+\epsilon x_1^2x_2)$
$\textstyle =$ $\displaystyle \epsilon x_1^2x_2^2$

Donc $U$ est une fonction définie positive qui est strictement décroissante le long de toutes les trajectoires du système si $\epsilon<0$. D'après les théorèmes précédents, l'état d'équilibre $(0, 0)$ est globalement stable pour $\epsilon=0$, est globalement asymptotiquement stable si $\epsilon<0$, globalement instable sinon. Dans cet exemple, l'analyse est complète car elle a permis de caractériser la stabilité globale du système. Ce n'est pas toujours le cas et cela dépend de la fonction de LYAPUNOV candidate comme le montre l'exemple suivant.

Exemple 1.3 Considérons maintenant le système défini par :

\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{rcl} \dot{x_1} & = & 2x_1(x_2^2-1) \\ \dot{x_2} & = & -x_2(x_1^2+1) \end{array}\right. \end{displaymath}

qui présente un point d'équilibre à l'origine et considérons la même fonction de LYAPUNOV candidate que précédemment :

\begin{displaymath} U_1(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+x_2^2}{2} \end{displaymath}

On a alors :
$\displaystyle \dot{U_1}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle x_1^2x_2^2-2x_1^2-x_2^2 \;.$

$\dot{U_1}<0\quad \mbox{si}\quad x_1^2x_2^2-2x_1^2-x_2^2<0$. Dans le plan $(x_1^2, x_2^2)$, on peut tracer le domaine de stabilité suggéré par cette fonction de LYAPUNOV candidate. On obtient alors la figure 1.1.

Figure 1.1: Domaine stabilité suggéré par $U_1(x_1, x_2)$.
\includegraphics[width=10cm]{/alazard/enseignement/ENSAE3/robustesse/domstab}

Si l'on considère maintenant la fonction de LYAPUNOV candidate suivante :

\begin{displaymath} U_2(x_1, x_2)=\frac{x_1^2+2x_2^2}{2}, \end{displaymath}

nous obtenons :
$\displaystyle \dot{U_2}(x_1,x_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}$
$\textstyle =$ $\displaystyle -2x_1^2-2x_2^2$

et nous pouvons conclure que le système est globalement asymptotiquement stable dans tout l'espace d'état $(x_1, x_2)$. On dit que le première fonction de LYAPUNOV $U_1$ est conservative car elle donne un résultat pessimiste sur le domaine de stabilité du système."