Kolmogorov

Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov (en russe : Андрей Николаевич Колмогоров ; 25 avril 1903 à Tambov - 20 octobre 1987 , Moscou) est un mathématicien russe dont les apports en mathématiques sont incommensurables.

En 1922, Kolmogorov publie ses premiers résultats concernant la théorie des ensembles et, en 1923, ses travaux concernant l'analyse de Fourier et commence à devenir connu à l’étranger. Il publie ses travaux sur la théorie de l'intégration, sur l’analyse de Fourier et pour la première fois sur la théorie des probabilités.

Après la fin de ses études supérieures en 1925, il commence son doctorat auprès de Nikolaï Louzine, qu’il termine en 1929.

Au cours de voyages sur la Volga et dans le Caucase, il se lie d’amitié avec Pavel Aleksandrov avec lequel il entreprend en 1930 et 1931 un voyage d’études à Göttingen, à Munich et à Paris. En 1931, il reçoit une chaire de professeur à l'Université de Moscou.
En 1933, paraît en allemand son manuel des Fondements de la théorie des probabilités ((de) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung), dans lequel il présente son axiomatisation du calcul des probabilités.

En 1934, il publie son travail sur la cohomologie (concept de la topologie) et obtient, grâce à cette thèse, le titre de docteur en mathématique et en physique.

En 1953 et 1954, il décrit la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) des systèmes dynamiques. Il introduit également la notion d'entropie métrique pour les systèmes dynamiques mesurés.

Kolmogorov a résolu en partie les sixième et treizième problèmes de David Hilbert.

En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues [tail events], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C'est-à-dire que la probablité d'un tel événement vaut 1 ou 0.

Exemple pour une indéfinité de lancers d'une pièce à pile ou face, le fait qu'une séquence de 100 "faces" consécutives soit réalisée une indéfinité de fois, est un événement queue de Kolmogorov.

Pour ma part il n'y a que des évenements queues ou VraiPile/FauxFace/piece cassée soit que 0 et 1 qui existe, le ]0,1[ des réels de dimension de Cantor égal à R ou plus exactement le ]0,1[ des rationnels de dimension de Cantor égal à N n'existe que dans nos esprit d'être humain calculateur...

De façon pas si surprenante, il est parfois aisé de prouver grâce à cette loi qu'un événement a une probabilité dans {0,1}, mais très difficile de déterminer laquelle de ces deux valeurs est la bonne.

Démonstration :

L'indépendance des Xk conduit à celle des tribus Un = σ(Xk;k < n) et Tn = σ(Xk;k > = n)

Si nous notons Tq la tribu de queue, on a \forall n T_q \subset T_n

Ce qui nous assure, pour tout n, l'indépendance de Tq et Un.

Posons alors Uq la tribu engendrée par les Un pour tout n.

La suite de tribus (U_n)_{n \in \mathbb{N}} est croissante, donc sa limite \cup U_n est un π-système qui engendre Uq. Comme \cup U_n et Tq sont indépendants, Uq et Tq le sont.

Ainsi pour tout événements A \in U_q B \in T_q on a P(A \cap B) = P(A)P(B).

Or comme T_q \subset U_q , on prend A=B ce qui donne P(A) = P(A)^2

On en conclut que P(A)=0 ou 1