1.1 Définition de la stabilité

1.1 Définition de la stabilité: "1.1 Définition de la stabilité
Considérons un système continu de dimension finie décrit par une équation différentielle vectorielle non-linéaire du premier ordre :
\begin{displaymath} \dot{x}=f(x)\quad x\;\in\;{\mathcal{R}}^n \end{displaymath} (1.1)

Définition 1.1 (Point d'équilibre) Un vecteur $x_e\;\in\;{\mathcal{R}}^n$ est dit point ou état d'équilibre si :

\begin{displaymath} f(x_e)=0\;. \end{displaymath}

Remarque: tout point d'équilibre peut être ramené à l'origine par un simple changement de variable $x\leftarrow x-x_e$. Donc, sans perte de généralité, les définitions et théorèmes qui suivent seront établis en considérant:

\begin{displaymath} x_e=0\;. \end{displaymath}

Définition 1.2 (Stabilité locale simple et asymptotique) L'état d'équilibre $x_e=0$ du système 1.1 est :

-
stable si, pour tout $\epsilon >0$, il existe $r=r(\epsilon)$, tel que :

\begin{displaymath} \Vert x(t=0)\Vert<r \Rightarrow \Vert x(t)\Vert<\epsilon \quad \forall\;t>0 \end{displaymath}

-
instable, si non stable,
-
asymptotiquement stable, s'il est stable et si $r$ peut être choisi tel que :

\begin{displaymath} \Vert x(t=0)\Vert<r \Rightarrow \lim_{t \to \infty}x(t)=0 \end{displaymath}

-
marginalement stable, s'il est stable sans être asymptotiquement stable.

Physiquement, la stabilité au sens de LYAPUNOV garantit que la trajectoire $x(t)$ dans l'espace d'état restera à l'intérieur de la boucle $\mathcal{B}(x_e,\epsilon)$ si son point de départ appartient à une boule $\mathcal{B}(x_e,r)$. La stabilité asymptotique inclut cette propriété, mais spécifie de plus que toute trajectoire initialisée dans la boule $\mathcal{B}(x_e,r)$ converge vers $x_e$.

Dans ce qui suit et par abus de langage, on parle de stabilité du système au lieu de parler de stabilité du point d'équilibre.

Définition 1.3 (Stabilité asymptotique globale) Si le système est asymptotiquement stable quel que soit le vecteur d'état initial $x(t=0)$ alors le point d'équilibre est globalement asymptotiquement (ou exponentiellement) stable."